அவசரத்தில் பதித்த ஒரு துணுக்கிற்கு இத்தனை பின்னுட்டங்களா?(பரவாயில்லை! நானும் உங்களை கொஞ்சம் யோசிக்க வைத்திருக்கிறேன்.) முதலில் உங்களிடம் நான் மன்னிப்பு கேட்டுக் கொள்கிறேன். போன துணுக்கில் ஒரு சிறு தவறு செய்துவிட்டேன்(யாரோட இதயமோ வெடிக்கிற சத்தம் கேக்குதே?!?)
"நண்பர் சொல்லும் எண்களின் கூட்டுத்தொகையை 9தால் வகுக்கும்போது, மீதி 0 வந்தால் நண்பரிடம் நீங்கள் அடித்த எண் 9 அல்லது 0 என்று சொல்லி தப்பித்துக்கொள்ளுங்கள்" என்று போன துணுக்கில் எழுத வேண்டும் என்று நினைத்திருந்தேன். தட்டச்சும்போது மறந்து விட்டது. மன்னித்து விடுங்கள்.
karthikramas அவருடைய சொந்த தியரம் என்று ஒன்று கொடுத்திருக்கிறார். ஆனால் அதற்கும் நம்முடைய வித்தைக்கும் சம்பந்தம் இல்லை.
மூர்த்தி என்னை குழப்ப விழைந்திருக்கிறார். ஆனால் அதில் ரோசாவசந்தே வெற்றி பெற்றிருக்கிறார். ரோசாவசந்த்! என் மேல் கொஞ்சம் கூட இரக்கமே காட்டாமல் இப்படி போட்டு என்னை குழப்பலாமா?! எனக்கு இருப்பதே சின்ன மூளை(கை முஷ்டி அளவு என்று சொல்கிறார்கள்). அதையும் இவ்வளவு கஷ்டப்படுத்தினால் எப்படி? ஆனாலும் கஷ்டப்பட்டு நண்பர்கள் உதவியுடன் ரோசாவசந்தின் விளக்கத்தை புரிந்து கொண்டு விட்டேன். அவர் கொஞ்சம் அதிகமாய் உணர்ச்சிவசப்பட்டுவிட்டார் என்று நினைக்கிறேன். அவர் கேள்வியில் குறிப்பிடப்படும் கடைசிவிடை எது என்பது குழப்பமாய் உள்ளதாகக் கூறியுள்ளார். நான் நண்பருக்கு கிடைத்த கடைசி விடையையே( அதாவது அவர் ஒரு இலக்கத்தை அடிப்பதற்கு முன்பு) கடைசி விடை என்று கூறினேன். அவர் உங்களிடம் கூறும் எண்களிலிருந்து நீங்கள் அடிக்கப் பட்ட எண் எதுவென்று கண்டுபிடிக்கும் முறை, ஒரு எண் 9தால் வகுபடுமா, வகுபடாதா என்று கண்டறிய பயன்படும் முறையே. அதனால் நண்பருக்கு கிடைத்த கடைசி விடை ஏன் எப்பொழுதும் 9தால் வகுபடுகிறது என்பதை நிரூபித்தாலே போதுமானது. நீங்கள் நிரூபித்திருப்பதும் சரிதான். ஆனால் நிரூபணம் முடிந்த பின்னும் தேவையில்லாமல் சுற்றியிருக்கிறீர்கள்.
அடுத்ததாக ஜெய்ஷ்ரீ! முதலாவது, இரண்டாவது, என்று பார்த்தால் ஜெய்ஷ்ரீ இரண்டாவதுதான். ஆனால் சரியான நிரூபணம்.(ஆமாம்! அது என்ன 0 <= a,b,c,d,..<=9, இதை தவிர வேறு எண்களை a,b,c,d,.. க்கு கொடுக்க முடியுமா?!?!)
பத்ரி அண்ணாச்சியை பற்றி சொல்லலேன்ன இந்த வலைத்துணுக்கு இருக்கறதே தப்பு. இதெல்லாம் ஒரு கணக்கா? ஃபூ என்று ஊதித் தள்ளிவிட்டார். அவர்தான் முதலில் விடையளித்திருக்கிறார்(ஏனோ பிளாக்கர் யோசனைகளில் விடையளிக்கவில்லை?).
கடமை என்று ஒன்றிருப்பதால் எனது விடை கீழே(நான் என்னத்த புதுசா சொல்லப் போறேன். அதேதான்).
நாம் எடுக்கும் பல இலக்க எண், வசதிக்காக நான்கு இலக்க எண் என்றே வைத்துக் கொள்வோம். அதை "abcd" என்று குறிப்போம்.
abcd = (a*1000) + (b*100) + (c*10) + d
=>1000a + 100b + 10c + d ---->(1)
அப்புறம் தனி இலக்கங்களைக் கூட்டுகிறோம்.
= a + b + c + d ----------------->(2)
இப்பொழுது (1)லிருந்து (2) கழிக்கிறோம்.
1000a + 100b + 10c + d ---->(1)
0000a + b + c + d ---->(2)
--------------------------------
999a + 99b + 9c + 0 ------->(3)
--------------------------------
இப்பொழுது (3) எண்தான் நண்பருக்கு கிடைத்த கடைசி விடை. இதில்தான் நண்பர் ஒரு இலக்கத்தை அடிப்பார்.
(3) எண் 9தால் வகுபடக்குடிய எண் என்பது இங்கேயே முடிவாகிவிடுகிறது. இதற்கு மேல் விளக்கம் தேவையில்லை.
நண்பர் சுபமூகா இந்த வித்தையை பார்த்துவிட்டு தன் வலைப்பதிவில் மேலும் இரு வித்தைகள் பற்றி சொல்லியிருக்கிறார். விருப்பமுள்ளவர்கள் அதையும் தெரிந்துகொள்ளுங்கள்.
Saturday, January 29, 2005
ஒரு தவறு. ஒரு பதில்...
Subscribe to:
Post Comments (Atom)
7 comments:
நான் நன்றாகவே என் போக்கில் சுற்றியுள்ளது உண்மை, எனினும் நீங்கள் சொன்னதுடன் கணக்கு முடிவதில்லை. நீங்கள் சொல்லும் (3) ஒன்பதால் வகுபடும் என்ற தகவல், வித்தை எப்படி வேலை செய்கிறது என்பதை விளக்க போதுமானது அல்ல. வேண்டுமானால் காரணம் சொல்லி முயன்று பாருங்கள்.
நீங்கள் சொல்லும் (3) ஒன்பதால் வகுபடும். அதானால் அதன் *தனி இலக்கங்களின் கூட்டுதொகை* ஒன்பதால் வகுபடும். ஏனெனில் ஒன்பதால் வகுபடும் எந்த எண்ணின் தனி இலக்க கூட்டுதொகையும் மீண்டும் ஒன்பதால் வகுபடும். இதை நிறுவ (முடியும், அதற்கு) கொஞ்சம் சுற்றியே ஆகவேண்டும்.
இந்த (3) தனி இலக்கங்களின் கூட்டுதொகை ஒன்பதால் வகுபடும் என்று சொல்லாமல் கணக்கு முடியாது. ஆனால்
நான் இப்படி எளிமையாய் முடிக்காமல் நன்றாய் சுற்றிவிட்டேன் என்பது உண்மை.
நாம் பயன்படுத்தும் முக்கிய fact "ஒன்பதால் வகுபடும் எந்த எண்ணின் தனி இலக்க கூட்டுதொகையும் மீண்டும் ஒன்பதால் வகுபடும்."
திங்கள் இரவு வரை மீண்டும் இந்த பக்கம் வரமாட்டேன். உங்கல் பதிலை பார்க்கவே வந்தேன். எதுவும் சொல்ல இருந்தால் திங்கள் வருகிறேன்.
ஒரு தெளிவுக்காக முழுவிடையையும்(என் முதல் பதில் போல் அல்லாமல், சுருக்கமான பதிலை) தருகிறேன். முதலில் பத்ரி, ஜெய்ஸ்ரீ, (அல்லது ஜெய்ஸ்ரீ, பத்ரி, பேசி முடிவுக்கு வாங்க!) பிறகு நான் மற்றும் யோசிப்பவர் சொன்னது. அதற்கு பிறகு தொடரும் பதில். எல்லோரும் நல்ல யோசிச்சு நான் மேலே சொல்லப்போவது *இல்லாம* வித்தை வொர்கவுட் ஆகுமான்னு பாருங்க. நான் நிச்சயமா இத்தோட ஜகா, இனி திங்கள்தான். இனி நிறுவுதல்.
தேர்ந்தெடுக்கும் எண்ணை பத்ரி விரும்பியது போல்
dcba
என்று குறிக்கவும்.
அதாவது பத்ரி சொன்னதுபோல் நமது எண்
d1000 +c 100+ b10 +a,
அதனுடன் தனி இலக்க கூட்டுதொகையான a + b + c +d யை கழித்தால் வருவது
999d + 99c +9b = 9(111d + 11c + 1b).
ஒரு வசதிக்கு இதை விடை1 என்ற வார்த்தையால் அழைப்போம்.
விடை1 ஒன்பதால் வகுபடும். அதானால் அதன் தனி இலக்க கூட்டுதொகையும் ஒன்பதால் வகுபடும். ஏனெனில் 9ஆல் வகுபடும் எந்த எண்ணின் தனி இலக்க கூட்டுதொகை மீண்டும் 9ஆல் வகுபடும். (இதை நிறுவ கஷ்டப்பட்டே ஆகவேண்டும். பிறகு என் பதிவில் தருகிறேன்.)
இப்போது விடை1இல் இருந்து ஒரு இலக்கத்தை நீக்குங்கள். நீக்கபட்ட இலகத்தை தவிர்த்து மற்ற தனி இலக்கங்களை கூட்டி, அதை ஒன்பதால் வகுத்து, மீதம் வருவதை ஒன்பதில் இருந்து கழித்தால், அந்த நீக்கப்பட்ட தனி இலக்கம் கிடைக்கும். ஏன்? அதையும் நிறுவ முடியும். கீழே உள்ளது போல்.
விடை ஒன்றின் தனி இலக்க கூட்டுதொகை 9K என்று குறிப்போம்.(ஒன்பதால் வகுபடுவதால் இப்படி குறிக்க முடியும்.) நீக்கப்பட்ட தனி இலக்கத்தை x என குறிப்போம். நீக்கபட்ட இலகத்தை தவிர்த்து மற்ற தனி இலக்கங்களை கூட்டினால் கிடைக்க கூடியது. 9K -x. இதை
9(K -1) + 9 -x என்றும் குறிக்கலாம். இதை 9ஆல் வகுத்தால் வரும் மீதி 9-x. ஆகையால் நாம் கண்டு பிடிக்க விரும்பும் x 9இல் இருந்து இந்த 9 -x ஐ கழித்தால் கிடைக்கும். இதனால் இந்த வித்தை வேலை செய்ல்கிறது. (கவனிக்கவும் x ஜீரோவாக இருந்தால் மீதி 9-x அல்ல, ஜீரோ, அதனால் பிரச்சனை.)
இந்த மொத்த நிறுவுதலில் கறாராய் பிட்டு பிட்டு வைக்காத ஒரே விஷயம் நாம் பயன் படுத்தும் crucial fact
"ஏனெனில் 9ஆல் வகுபடும் எந்த எண்ணின் தனி இலக்க கூட்டுதொகை மீண்டும் 9ஆல் வகுபடும்." இதை பின்னால் தருகிறேன்.
தயவு செய்து இப்படி செய்யாமல், யோசிப்பவர் சொன்னது போல் (3) ஒன்பதால் வகுபடும் என்ற தகவலை *மட்டும்* வைத்து இந்த வித்தை எப்படி வேலை செய்கிறது என்று விளக்க பாருங்கள். விளக்கினால் மகிழ்வேன். இன்னும் விளக்கவில்லை என்பதை மனதில் வைத்துகொள்ளவும். ஆமென்!
"9ஆல் வகுபடும் எந்த எண்ணின் தனி இலக்க கூட்டுதொகை மீண்டும் 9ஆல் வகுபடும்."
இதை இன்னும் நிறுவவில்லை என்று சொல்லியிருந்தேன். ஆனால் எனது பழைய நீண்ண்..ண்ட பதிலில் கொஞ்சம் தேடி, கொஞ்சம் யோசனையும் விட்டால் இதன் நிருபணம் கிடைக்கும். அதை கண்டு பிடிப்பவருக்கு வாழ்த்துப்பா எழுதி என் பதிவில் பதிவதோடு, நான் இருக்கும் ஊரின் கரன்ஸியில் 500 எண்ணம் அனுப்பிவைக்கிறேன்.
ரோசாவசந்த் + மற்றவர்கள்:
ஒன்பதால் வகுபடும் எண்ணின் இலக்கங்களைக் கூட்டி வரும் தொகையும் ஒன்பதால் வகுபடுகிறது என்பதன் எளிய நிரூபணம் (இது உயர் எண் கணித முறைப்படி முழுமையாக நிரூபிக்கப் படுவதல்ல, ஆனால் வலைப்பதிவு வாசகர்களுக்கு எளிதாகப் புரியுமாறு நிரூபிக்கப்படுவது).
நான்கு இலக்க எண் ஒன்றை - 'abcd' - என்று எடுத்துக்கொள்வோம். (இங்கு a, b, c, d என்பன 0-9 வரையிலான positive integers.)
abcd = a*1000 + b*100 + c*10 + d = (a*999 + a) + (b*99 + b) + (c*9 + c) + d
= 9 * (111*a + 11*b + c) + (a+b+c+d)
இப்பொழுது, abcd முழுமையாக ஒன்பதால் வகுபடுமென்றால் அதை 9 * X என்று குறிக்கலாம். இங்கு X என்பது மற்றுமொரு positive integer.
எனவே (a+b+c+d) = abcd - 9 * (111*a + 11*b + c) = 9*X - 9* (111*a + 11*b + c) = 9 * (X - 111*a + 11*b + c)
எனவே (a+b+c+d) என்பதும் ஒன்பதின் பெருக்குத் தொகையே.
இதை எத்தனை இலக்கங்களுள்ள எண்ணாக இருந்தாலும் நீட்டிக்கலாம். இது முந்தைய நிரூபணத்தின் சற்றே மாறிய வடிவம்.
Read, and i think Badri's proof is ok. not able to read what Jeyshree has written. Will be back tommorow. Thanks!
anyway the currency I use is yen, so 500yen will be less thyan 200Rs. The big deal is writing a vAzhthuppaa!
மீண்டும் வந்தேன். என் பழைய நீண்ண்..ட பதிலில் இருந்து எடுத்து சொல்லலாம் என்று நான் சொன்னது மீண்டும் கொஞ்சம் சுத்துவழி. என்ன எழவோ நமக்கு தோன்றுவதெல்லாம் சிக்கலான வழிகளாகவே இருக்கிறது.
பத்ரி எளிமையாய் நிருபித்துவிட்டார். இதைவிட மூன்று வரிகளில் mathematical induction என்பதை வைத்து நிருபிக்க முடியும்.
"இது உயர் எண் கணித முறைப்படி முழுமையாக நிரூபிக்கப் படுவதல்ல," என்று பத்ரி ஏன் சொன்னார் என்று புரியவில்லை. இதை கணிதரீதியாய் ஒப்புகொள்ள முடியும்.
வாக்களித்தபடி 500யென் இங்கிருந்து அனுப்ப 2000 அல்லது 5000யென் செலவழிக்க வேண்டி வரலாம். அதானால் சென்னை செல்லும்போது நல்ல புத்தகமோ, பத்ரிக்கு பழக்கம் உண்டெனில், ஸாகே, ஸோச்சு, அல்லது நால்ல ஸ்காட்ச் என்று எதாவதுடன் அவரை போய் பார்க்கமுடியும். அவரும் அதை ஒப்புகொள்வார் என நம்புகிறேன். வாழ்துப்பாதான் எதுவும் தோணலை.
'அத்திரி பத்திரி பத்ரி
போட்டிங்களே ஒரு கத்திரி' ன்னு ஏதோ தோணுது.இந்த வார நட்சத்திரமான அவர் மூடை குலைக்க விரும்பாமல், சுஜாதாத்தனமான என் வாக்குறுதியில் அந்த பாதியை திரும்ப பெற்றுகொள்கிறேன். நன்றி வணக்கம்.
யோசிப்பவரே நீங்கள் இனி யோசிக்க தேவையில்லை. புதிர் சுத்தமாய் கணிதரீதியில் அவிழ்க்கபட்டாகிவிட்டது. இனி 'யோசிக்க' எதுவுமில்லை.
ஜெயஸ்ரீக்கும் 250 (நூறு ரூபாய் வரும்)யென் பகிந்தளிக்க எனக்கு பிரச்சனையில்லை-பத்ரி ஒப்புக்கொண்டால்! வாழ்துப்பாவும் கேட்டு பிரச்சனை பண்ணமாட்டார் என்று நம்புகிறேன்.
Post a Comment