நானும் இந்தப் பதிவை பதிச்சிரனும்னு ரொம்ப நாளா முயற்சி பண்றேன். முடியலை. இன்றைக்கு எப்படியும் பதித்து விடுவது என்ற உறுதியோடு, இன்றைய (வலைப்பதிவு)செய்திகள் எதையும் படிக்காமல் இதை எழுதிக்(தட்டி) கொண்டிருக்கிறேன்.
முதலில் கணித வித்தை.
உங்கள் நண்பர் அல்லது நண்பியை பல இலக்க எண் ஒன்றை எழுதி கொள்ள சொல்லுங்கள். எழுதிவிட்டார்களா? இப்பொழுது அதில் இருக்கும் ஒவ்வொரு தனி இலக்கங்களையும் கூட்ட சொல்லுங்கள்(சரியா வரலை!!). அதாவது இப்ப 9573 என்று எழுதி இருக்கிறார்கள் என்று வைத்துக் கொள்ளுங்கள். அதை இப்படிக் கூட்ட வேண்டும் (9+5+7+3). இப்பொழுது அப்படி கூட்டி வந்த விடையை முதலில் எழுதிய பல இலக்க எண்ணிலிருந்து கழிக்க சொல்லுங்கள்(9573-24). கழித்து விட்டார்களா? மிதி வந்த விடையிலிருந்து ஏதாவது ஒரு எண்ணை அடித்து விட சொல்லுங்கள்(9549 -> 9_49). அடித்து விட்டார்களா? மீதி இருக்கும் இலக்கங்களை சொல்லச் சொல்லுங்கள். அவர்கள் கூறும் எண்களிலிருந்து அவர்கள் அடித்த எண் எது என்று நீங்கள் சொல்லி அவர்களை அச்சர்யப்படுத்துங்கள். எப்படி அவர்கள் அடித்த எண்ணை சொல்வது?
ரொம்ப சுலபம். அவர்கள் கூறும் எண்களை கூட்டுங்கள்(9+4+9=22). அதை ஒன்பதால்(9) வகுங்கள்(22/9). மீதி 4 வரும். இந்த மீதியுடன் எதைக் கூட்டினால் 9 வரும் என்று பாருங்கள்(4+5=9). அப்படியானால் 5 தான் அவர்கள் அடித்த எண். நீங்கள் மனக்கணக்கில் புலியாயிருந்தால் நேரடியாகவே கூட்டுத்தொகையுடன் எதை கூட்டினால் 9தின் வகுபடு எண்('Multiples' என்பதன் தமிழ் வார்த்தை சரியா?) வரும் என்றும் கண்க்கிட்டுக் கொள்லலாம்.
இருங்க! இருங்க!! இன்னும் கேள்வியே கேட்கலியே!!!
இப்போ கேள்வி
இந்த வித்தை எப்படி வேலை செய்கிறது. அதாவது விளக்கமாக கேட்டால் அந்த கடைசி விடை ஏன் எப்பொழுதும் 9தால் வகுபடக் கூடிய எண்ணாகவே இருக்கிறது? இதுதான் கேள்வி.
இந்தக் கேள்விக்கு விளக்கமான பதில் தருபவர்களுக்கு 'கணித மாமேதை' என்ற விருதை நாம் கொடுத்தாலும் யாரும் மதிக்கப் போவதில்லை என்பதால், அவர்கள் பெயர் மட்டும் நமது Comment பகுதியில் அவர்களது Commentக்கு கீழேயே பொறிக்கப்படும்(நிரந்தரமாக) என்று தெரிவித்துக் கொள்கிறேன்.
Thursday, January 27, 2005
ஒரு கணித வித்தை. ஒரு கேள்வி. .
Subscribe to:
Post Comments (Atom)
13 comments:
நன்றாகத் தான் இருக்கிறது.
ஆனால், கண்டு பிடித்தலில் ஒரு சிறு
மாற்றம் தேவை என்று தோன்றுகிறது.
நான் எடுத்துக் கொண்ட எண்: 7225
7+2+2+5=16
7225-16=7209
நான் அடித்த எண்: 0
மற்ற எண்கள்: 7,2,9
7+2+9=18
18/9=2 மீதி: 0 எனும் போது
விடை: 9 என்று சொல்ல வாய்ப்பு
இருக்கிறதே?!!
அடிக்க வேண்டிய எண் பூஜியம் அல்லாத முழு
எண்ணாக இருக்க வேண்டும் என்று
சேர்த்து விட்டால் OK!
இங்கேயும் கொஞ்சம் வந்துட்டு போங்க..
http://puthupunal.blogspot.com/2005_01_27_puthupunal_archive.html
பத்ரி சொல்லிவிடுவார் என்று தோன்றுகிறது. (ஏனோ இங்கு வந்து சொல்லவில்லை.) ஒருவேளை யாரும் சொல்லவில்லையெனில் நாளை வந்து நான் எழுதுகிறேன்.
the smallest multidigit possible is 11;
1+1 = 2
11 -2 = 9
any greater result shud be greater than this :-)
This is my own theorem;not sure of this
I am no maths puli ;-)
//the smallest multidigit possible is 11//
should read
// smallest multidigit possible which can give > 1 is 11// :-p
யாரும் முழுமையாய் விடை இன்னும் சொல்லவில்லை என்று தெரிகிறது. இப்போது குளிக்கபோகிறேன். குளித்து, சமயல், சாப்பாடு முடிந்து, ஒரு மூண்றுமணி நேரம் கழித்து வரும்போதும் யாரும் விடையளிக்கவில்லையெனில் நான் என் விடையை எழுதுகிறேன்.
இப்படி 'புலி வருது' என்பது போல் பயமுறுத்துவதற்கு மன்னிக்கவும். சமயலுக்கு நடுவே எழுத தொடங்கியிருக்கிறேன். சற்று பெரிதாய் வரும் போல் தெரிவதால், சுமார் ஒரு மணி நேரத்தில் இங்கே பதிவாகும்.
இந்த புதிரை இதற்கு முன் கேள்விப்பட்டதில்லை. இதில் பயன்படுத்தப்படும் 9என்ற எண்ணின் சிறப்பையும் இன்றுதான் அறிந்தேன். நான் எழுதுவதை விட எளிய நிருபணம் இருக்குமா என்று தெரியவில்லை. (ஆனால் அது நிருபிக்கவேண்டும்!)
அன்னார் யோசிப்பவர் எங்கிருந்து அள்ளி போடுகிறார் என்று தெரியவில்லை. புதிரை படித்துவிட்டு ஒரு தன்னம்பிக்கையில் 'நாளை சொல்கிறேன்' என்று சொல்லிவிட்டு, இன்று மாலை யோசிக்க தொடங்கியபோதுதான் சொதப்பியது புரிந்தது. விடை உடனே வந்துவிடவில்லை. 'அசடு வழிய நேரிடுமோ?' என்று சீரயஸாகவே கவலைப்பட தொடங்கியபோதுதான் பொறி தட்டியது. அதை கீழே எழுதுகிறேன்.
கார்திக் சொன்னது புரியவில்லை. ஆனாலும் 'my own theorem' என்று ஒன்று கிடையாது. தியரம் என்று வந்தபின் எது எல்லோருக்கும் பொதுவாய்தான் இருக்கமுடியும். மூர்த்தி ரொம்பவே திக்குமுக்காட வைத்துவிட்டார். மனிதர் 'கால்குலேட்டரில்' போட்டு வகுத்தது மட்டுமில்லாமல் ரவுண்டப் வேறு பண்ணிவிட்டார். , 8ஐ 9ஆல் வகுத்தால் வரும் விடை .88 அல்ல, .88888....... ஒரு முடிவில்லாத எண். இது குறித்த ஒரு துணுக்கை கடைசியில் தருகிறேன்
பத்ரி சரியாய் பயணத்தை தொடங்கினாலும், அங்கேயே நின்றுவிட்டு தொடரவில்லை, இலக்கை அடையவில்லை.
கேள்வி 1. . அந்த கடைசி விடை ஏன் எப்பொழுதும் 9தால் வகுபடக் கூடிய எண்ணாகவே இருக்கிறது?
கேள்வி 2. இந்த வித்தை ஏன் வேலை செய்கிறது?
கேள்வி1இல் குறிப்பிடபடும் 'கடைசி விடை' என்பது எதை குறிக்கிறது என்பது கொஞ்சம் குழப்பமாய் உள்ளது. கேள்வியில் தெளிவாய் இல்லை.
நாம் தேர்ந்தெடுத்து கொள்ளுகம் அந்த பல இலக்க எண்ணிலிருந்து, தனியிலக்கங்களின் கூட்டுதொகையை கழித்து வரும் விடை பற்றியது கேள்வி என்று எனக்கு தோன்றவில்லை. பத்ரியும் ஜெயஸ்ரீயும் அப்படி எடுத்துகொண்டே , அது குறித்தே பேசியுள்ளனர்.
அவ்வாறு கழித்து வரும் விடையின் தனி இலக்கங்களை மீண்டும் கூட்டினால் வரும் விடை 9ஆல் வகுப்படக்கூடியது என்பதே கேள்வி என்று தோன்றுகிறது.அதுதான் கேட்ச். அதை பயன் படுத்தியே இந்த வித்தை ஏன் வேலை செய்கிறது என்று விளக்கமுடியும்.
ஒவ்வொன்றாய் தொடங்குவோம். இந்த 'வித்தை' எத்தனை இலக்க எண்ணுக்கு வேண்டுமானாலும் வேலைசெய்யும். ஆனால் எல்லோருக்கும் எளிமையாய் இருக்க நான்கு இலக்க எண்ணையே எடுத்துகொள்கிறேன். பொதுவான ஒரு 'N' இலக்க எண்ணுக்கு இதே வழிமுறையை அப்படியே பின்பற்றி எழுதலாம். ஒரே விஷயம் (10^N - 1) = 9(10^(N-1) + 10^(N-2) +......+10 +1) என்ற ஃபார்முலாவை பயன்படுத்த வேண்டும். (இதில் 10^N என்பது 10இன் N மடங்கு, அதாவது 1000 என்பதை 10^3 என்று குறிக்கிறேன்.) இனி நான்கு இலக்க எண்ணுக்கான விளக்கமும் நிறுவுதலும்.
தேர்ந்தெடுக்கும் எண்ணை பத்ரி விரும்பியது போல்
dcba
என்று குறிக்கவும்.
அதாவது பத்ரி சொன்னதுபோல் நமது எண்
d1000 +c 100+ b10 +a,
அதனுடன் தனி இலக்க கூட்டுதொகையான a + b + c +d யை கழித்தால் வருவது
999d + 99c +9b = 9(111d + 11c + 1b).
ஒரு வசதிக்கு இதை விடை1 என்ற வார்த்தையால் அழைப்போம். இது பின்னால் உதவும்.
இந்த விடை1ஐ
9 ( 100 +10 +1)d +9(10 +1)c + 9b
என்றும் குறிக்கலாம். ஒண்ணும் இல்லைய்யா, 111ஐ 100 +10 +1ண்ணு போட்டிருக்கேன். அதே மாதிரி 11ஐயும்.
அதை அப்படியே மாற்றி எழுதினால்
9 (d)100 + 9(d+c)10 + 9 (d +c +b)
என்றும் எழுதலாம். மேலே உள்ள விடை1ஐத்தான் இடம் மாற்றி இப்படி எழுதியுள்ளேன். சரிதானா என்று உற்று கவனித்து பாருங்கள்!
சரி, இப்போது உடனே அவசரப்பட்டு நம் கையில் இருக்கும் விடை1இன் தனி இலக்கங்களாக 9 d, 9(d+c), 9 (d +c +b) ஆகியவற்றை கருதமுடியாது. ஏனெனில் இவை இப்போது ஒரு இலக்க எண்கள் இல்லை. 9ஆல் பெருக்குவதாலும், மற்ற எண்களோடு கூட்டுவதாலும் இது வேறு ஏதாவதோவாக மாறிவிடக்கூடும். ஆனாலும் நமக்கு அது என்னவென்பது பிரச்சனையில்லை. நமக்கு தேவை அந்த தனி இலக்கங்களை கூட்டினால் வரும் விடை (இதுதான் அந்த கடைசிவிடை!) 9ஆல் வகுபடகூடியது என்ற தகவல் மட்டுமே. அதை நிறுவி விட்டால் காரியம் முடிந்தது.
அதை நிறுவும் முன், எப்படி காரியம் முடிந்தது என்று பார்போம். தனி இலக்கங்களை கூட்டினால் வரும் கடைசி விடை 9ஆல் வகுபட கூடியது என்று வைத்துகொள்வோம். இப்போது ஒரு தனி இலக்கத்தை நீக்கிவிடுவோம். ஆமாம், சுபமூகா கண்டுகொண்டது போல் 0வையும், 9ஐயும் நீக்கினால் பிரசனைதான். அதையும் ஏன் என்று பார்போம்.
நீக்கபட்ட தனி இலக்கம் 0விலிருந்து 9ற்குள் இருக்கும் ஒரு எண். எல்லா தனி இலக்கங்களையும் கூட்டினால் வரும் எண் 9ஆல் வகுபடகூடியது(இதை இன்னும் நிறுவவேண்டும், ஞாபகம் இருக்கட்டும்.) அப்படியெனில் நீக்கபட்ட எண்ணை தவிர்த்து மற்ற தனி இலக்கங்களை கூட்டி, அதை ஒன்பதால் வகுத்து, மீதம் வருவதை ஒன்பதில் இருந்து கழித்தால், அந்த நீக்கப்பட்ட தனி இலக்கம் கிடைக்குமன்றோ! இதுக்கு மேல புட்டு புட்டு வைக்கமுடியாது. ஒவ்வொரு வரியா பாருங்க. யோசிச்சு முடிவுக்கு வாங்க! அல்லது உதாரணக்களை கொண்டு மனசிலாய்க்கிகோங்க! ஆனால் நீக்கப்பட்ட எண் 9ஆகவோ, 0வாகவோ இருந்தால், வரப்போகும் மீதி எப்படியும் 0. அதனால் இப்பொது இரண்டு சாத்தியங்கள் உள்ளது புரிகிறதா?
ஆக செய்யவேண்டிய ஒரே வேலை இந்த கடைசிவிடை 9ஆல் வகுபடுவதை நிறுவுவது மட்டுமே. அதாவது நம்மிடம் விடை1 என்று
9 (d)100 + 9(d+c)10 + 9 (d +c +b)
என்பதாய் குறிக்கபடும் எண் இருக்கிறது. இதன் தனி இலக்கங்களை கூட்டி வரும் கடைசி விடை 9ஆல் வகுபடும் என்று நிறுவுவதே நாம் செய்யவேண்டிய ஒரே வேலை. இதற்கு விடை1றின் தனி இலக்கங்கள் என்னவென்று தெளிவாய் தெரிய வேண்டிய அவசியமே இல்லை. நமக்கு வேண்டியது அதன் கூட்டுதொகை மட்டுமே.
மேலே உள்ள விடை1இல் உள்ள 9 (d), 9(d+c), 9 (d +c +b), இந்த எண்களின் தனி இலக்கங்களை எல்லாம் ஒட்டுமொத்தமாய் சேர்த்து கூட்டினால் வருவது, விடை1இன் தனி இலக்கங்களின் கூட்டுதொகை. அதாவது நாம் குறிக்கும் கடைசி விடை இதுதான். குண்ட்ஸாய் பார்த்தால் இது உண்மை போல் தெரிந்தாலும், இது அத்தனை தெளிவு இல்லை. ஆனால் 'மனக்கணக்கிலேயே' இது குறித்து தெளிய முடியும் என்றாலும் ஒரு பேப்பரும் பேனாவும் வைத்துகொண்டு சரிபார்க்கலாம். அதை அடுத்த பத்தியில் தருகிறேன். பார்க்க விரும்பாமல், குண்ட்ஸாய் சொன்னதிலேயே புரிந்ததாய் நினைப்பவர்கள் அதற்கு அடுத்த பத்திக்கு செல்லலாம். மற்றி, மாற்றி அல்ட் பட்டனை தட்ட விரும்பாமல் ஆங்கிலத்திலேயே எழுதுகிறேன்.
Please take a pen and paper to verify the following.
Suppose 9d = x10 + y, where x,y are one digit numbers. (Note that 9d is a two digit number, atmost.)
Similarly denote 9(d +c) = r100 +s10 + t
9(d +c +b) = u 100 +v10 +w
Then, by direct substitution and manipulation, one can verify that the above விடை1
( 9 (d)100 + 9(d+c)10 + 9 (d +c +b) )
can be written as follows.
(x +r)1000 + (y +s +u)100 +(t +v)10 + w.
இப்போது கொஞ்சம் மண்டையை உடைத்தால் மேற்சொன்ன "9 (d), 9(d+c), 9 (d +c +b), இவற்றின் தனி இலக்கங்களை எல்லாம் ஒட்டுமொத்தமாய் சேர்த்து கூட்டினால் வருவது, விடை1இன் தனி இலக்கங்களின் கூட்டுதொகை. இப்போ இது தெளிவு. மனக்கணக்காக கூட தெளியலாம்.
ஆக இப்போது இந்த 9 (d), 9(d+c), 9 (d +c +b) இந்த ஒவ்வொரு எண்களின் தனி இலக்க கூட்டுதொகை 9ஆல் வகுபடும் என்று நிறுவினால் போதும்." அதான் எனக்கு தெரியுமே" என்று சரோஜா (தங்கவேலு) மாதிரி சொல்லாதீர்கள். கொஞ்சம் கவனமாய் எடுத்துகொண்டு சரி பார்க்கவேண்டும். அதாவது 9ஐ ஏதாவது ஒரு எண்ணால் பெருக்கினால் வரும் விடையை எடுத்துகொள்ளுங்கள். அதன் தனி இலக்கங்களை கூட்டுங்கள். அது மீண்டும் ஒன்பதால் வகுபடும். இதையும் நிறுவ முடியும் என்றாலும், "ப்ளீஸ் வேண்டாமே": என்று நீங்களே சொல்வீர்கள் என்று எடுத்துகொண்டு விட்டுவிடுகிறேன். உதாரண்மாய் 81, 72, 63, 153, 2718 இப்படி சில உதாரணங்களை கொண்டு சரிபார்க்கவும். இது ஒன்பதுக்கு மட்டுமே உள்ள ஒரு சிறப்பு. உதாரணமாய் 6ஐயும் 5யும் பெருக்கினால் 30. தனி இலக்கங்களை கூட்டினால் 3. இது 5ஆலும் வகுபடாது, 6ஆலும் வகுபடாது. 9மட்டுமே இந்த வேலையை செய்யும்.
ஆகையால் மேலே உள்ள 9 (d), 9(d+c), 9 (d +c +b) இவற்றின் தனி இலக்க கூட்டுதொகை 9ஆல் வகுபடும். அதனால் விடை1இன் தனி இலக்க கூட்டுதொகையான கடைசி விடை 9ஆல் வகுபடும். இதனால் இந்த வித்தை வேலை செய்கிறது. ஆமென்! இதற்கும் மேலே விளக்கங்கள் வேண்டுமானால் ஒருவாரம் கழித்து என்னை தொடர்புகொள்ளவும்.
முடிக்கும் முன்பு மூர்த்தியின் பாணியில் ஒரு துணுக்கு. அமேரிக்கவில் கால்குலேட்டர்கள் பையன்களை கெடுப்பது குறித்த துணுக்கு இது.
ஒரு வாத்தியார் பையனிடம் '1ஐ 3ஆல் பெருக்கி 3ஆல் வகுத்தால் என்ன வரும்' கேட்கிறார். பையன் கால்குலேட்டரில் போட்டு .99999999 என்கிறான். (கால்குலேட்டர் 8 இலக்கம் வரை காட்டும்.) ஆசிரியர் 'இல்லை, தவறு! 1ஐ 3ஆல் பெருக்கி 3ஆல் வகுத்தால் வரும் விடை 1தான்' என்கிறார். அதற்கு பையன் சொல்கிறான்.
"Yeah, if you round it up.".
ஜெய்ஸ்ரீ, காத்திருந்ததற்கு நன்றி!
கொஞ்சம் ஓவர் விளக்க்ம் கொடுத்துவிட்டேன் என்று படித்து பார்க்கும்போது தெரிகிறது. சில வாதங்களை நீக்கி எளிமை செய்யமுடியும் என்று தோன்றுகிறது. உதாரணமாய் இந்த 9 (d), 9(d+c), 9 (d +c +b) இதையெல்லாம், வேறு எழுத்துகளால், 9i, 9j, 9k என்று குறிக்கலாம். இதன் துல்லியமான விவரம் தேவையில்லை. இதுப்போல சில அனாவசிய விளக்கத்தை குறைத்து எளிமை படுத்த முடியும் என்றாலும், இப்போ எனக்கு இது போதும், நன்றி!
Ha! Its really my Blog!!! Thanks for all of U. Wait till I post the answer tommorrow. Today I have some problems with tamil typing. So please wait One More Day!!!;)
மூர்த்தி, சும்மா ஜாலிக்கு சான்ஸ் கிடிச்சுதேன்னு கலாய்சேன். அப்படியே தெரிஞ்ச வேறு ஒரு துணுக்கை தரலாமேன்னு. தப்பா எடுத்துகாதீங்க!
யோசிப்பவர் எதோ ஸிம்பிளான விடையோடு வரப்போவதாக தெரிகிறது. அவர் எழுதிய பின் என் கருத்தை தருகிறேன்.
அப்பா.. இவ்வளவு பெரிய விவாதம்.. படிப்பதற்குள்.. கொஞ்சம் தலை சுற்றிவிட்டது..
Post a Comment